Weak Lumpability of Finite Markov Chains and Positive Invariance of Cones

We consider weak lumpability of general nite homogeneous Markov chains evolving in discrete time, that is when a lumped Markov chain with respect to a partition of the initial state space is also a homogeneous Markov chain. We show that weak lumpabilityis equivalent to the existence of a decomposable polyhedral cone which is positively invariant by the transition probability matrix of the original chain. It allows us, in a uniied way, to derive new results on lumpability of reducible Markov chains and to obtain spectral properties associated with lumpability. Agr egation faible de cha^ nes de Markov nies et invariance positive de c^ ones R esum e : Nous nous int eressons a la propri et e d'agr egation faible de cha^ nes de Markov nies evoluant en temps discret, c'est a dire quand une cha^ ne de Markov, agr eg ee selon une partition de l'espace d' etat initial, est encore markovienne homog ene. Nous montrons que cette propri et e est equivalente a l'existence d'un c^ one polyh edrique d ecomposable qui est invariant par la matrice des probabilit es de transition de la cha^ ne originale. Cela nous permet, d'une mani ere unif ee, de d eriver de nouveaux r esultats sur l'agr egation de cha^ nes de Markov r eductibles et d'obtenir des propri et es spectrales associ ees a l'agr egation. Weak lumpability of nite Markov chains and positive invariance of cones 3 1 Introduction